Question

当抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点及抛物线上一点P组成以P为直角顶点的直角三角形时，则点P的坐标（ ）
A．只与a有关
B．只与b有关
C．只与c有关
D．与a、b、c均有关

Answer 1

【答案】分析：设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线上一点P（x，y）．先由韦达定理得出x₁+x₂=-，x₁•x₂=．再过P作PM⊥x轴于M，易证△APM∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出PM²=BM×AM，即y²=（x₂-x）•（x-x₁），然后由点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，将y=ax²+bx+c代入，整理后得出y=-，x=，即可判断．
解答：解：设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线上一点P（x，y）．
∵点A、B是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，则由韦达定理x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
过P作PM⊥x轴于M，
∵A（x₁，0），B（x₂，0），P（x，y），
∴PM=|y|，BM=x₂-x，AM=x-x₁．
∵在△PAB中，∠APB=90°，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠PBA+∠BPM=90°，
∴∠BPM=∠PAB，
∴△APM∽△PBM，
∴=，
∴PM²=BM×AM，
∴y²=（x₂-x）•（x-x₁），
整理得：x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂+y²=x²+•x++y²=0，
即x²+•x++y²=0，
两边同时乘以a，得ax²+b•x+c+ay²=0，
∵点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，
所以y=ax²+bx+c，
∴将其代入ax²+b•x+c+ay²=0，得
y+ay²=0，
即y•（1+ay）=0．
∵点P不与点A、B重合，
∴y≠0，
∴y=-，
∴x=．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的判定与性质，韦达定理，解一元二次方程，难度较大．