Question

如图，一次函数y=-

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2

x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

（1）∵一次函数y=-

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x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2，
将x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=

7

2

，
∴y=-x²+

7

2

x+2；

（2）∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
∴由题意，易得M（t，-

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t+2），N（t，-t²+

7

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t+2），
从而得到MN=-t²+

7

2

t+2-（-

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t+2）=-t²+4t（0＜t＜4），
当t=-

b

2a

=2时，MN有最大值为：

4ac-b2

4a

=4．