Question

（2013•房山区二模）已知抛物线y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低点A的纵坐标是3，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线与直线AB的解析式．
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值．
（3）过B点作x轴的平行线BG，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）先由y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²可以求出抛物线的对称轴，就可以求出顶点坐标，代入解析式就可以求出m的值，将A的坐标及m的值代入一次函数的解析式就可以求出结论；
（2）根据旋转的性质就可以求出D、E的坐标，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根据求锐角三角函数的方法就可以求出结论；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论运用相似三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）∵y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的，
∴抛物线的对称轴x=-

b

2a

=-

2(m-3)

2(3-m)

=1．
∵抛物线y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低点A的纵坐标是3
∴抛物线的顶点为A（1，3）
∴m2-5m+6=0，
∴m=3或m=2，
∵3-m＞0，
∴m＜3
∴m=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x+4，
直线为y=2x+b．
∵直线y=mx+b经过点A（1，3）
∴3=2+b，
∴b=1．
∴直线AB为：y=2x+1；

（2）令x=0，则y=1，）令y=0，则x=-

1

2

，
∴B（0，1），C（-

1

2

，0）
将直线AB绕O点顺时针旋转90⁰，设DE与BC交于点F
∴D（1，0），E（0，

1

2

），∠CFD=90°，
∴OB=OD=1  OC=

1

2

，∴CD=

3

2

在Rt△BOC中，由勾股定理，得
CB=

5

2

，BD=

2

．
∵CD•OB=CB•DF，
∴DF=

3

5

5

，
∴由勾股定理，得
BF=

5

5

，
∴Sin∠BDE=

BF

BD

=

5 5

2

=

10

10

；

（3）如图2，在BG上取一点Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．
∵∠AMB+∠ANB=45°，
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQN∽△MQA，
∴

AQ

MQ

=

QN

QA

．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，AQ=2

2

，
∵MP=6，
∴MQ=4．
∴

2 2

4

=

QN

2 2

，
∴QN=2，
∴BN=5．
∴N（5，1）；
如图3，在BG上取一点Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQM∽△NAM，
∴

AM

MN

=

QM

AM

．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，BM=7，AQ=2

2

，
∵MP=6，
∴MQ=4．AM=2

10

，
∴

2 10

MN

=

4

2 10

，
∴MN=10，
∴BN=3．
∴N（-3，1）；
∴N（-3，1）或（5，1）．

点评：本题考查了运用抛物线的顶点式求顶点坐标的运，运用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式的运用，旋转的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时寻找解答本题的突破口从抛物线的顶点入手，求N的坐标运用相似三角形的性质是关键．