Question

（2013•怀柔区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）b=

-2

，c=

-3

；
（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA+OC求出AC的长，根据BC=AC，求出BC的长，根据OC与BC的长求出B的坐标，将A与B坐标代入抛物线解析式即可求出b与c的值；
（2）设直线AB的解析式为y=px+q，将A与B坐标代入求出p与q的值，确定出直线AB解析式，再由抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF，利用二次函数的性质求出EF的最大值，以及此时t的值，即可确定出此时E的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3），由E的纵坐标与P纵坐标相等列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出P₁，P₂的坐标；（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3），根据F的纵坐标与P的纵坐标相等列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P₃的坐标，综上得到所有满足题意P得坐标．

解答：解：（1）由OA=1，得到A（-1，0）；由BC=AC=OA+OC=1+4=5，得到B（4，5），
将A与B坐标代入抛物线y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：b=-2，c=-3；　　　　　　　　　　

（2）∵直线AB：y=px+q，经过点A（-1，0），B（4，5），
∴

-p+q=0 4p+q=5

，
解得：

p=1 q=1

，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x²-2x-3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t²-2t-3）
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴当t=

3

2

时，EF的最大值=

25

4

，
∴点E的坐标为（

3

2

，

5

2

）；

（3）存在，分两种情况考虑：
（ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3），
则有：m²-2m-3=

5

2

，
解得：m₁=

2- 26

2

，m₂=

2+ 26

2

，
∴P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

）；

（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3），
则有：n²-2n-3=-

15

4

，
解得：n₁=

1

2

，n₂=

3

2

（与点F重合，舍去），
∴P₃（

1

2

，-

15

4

），
综上所述：所有点P的坐标：P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

），P₃（

1

2

，-

15

4

），能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
故答案为：-2；-3．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．