Question

18、如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：PE=PF；
（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质以及平行四边形的性质可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；
（2）假设四边形BCFE是菱形，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．

点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定以及菱形的判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．