题目内容

22、如图,△ABC中,点D在AC上,CD=2AD,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.已给的图形中存在哪几对相似三角形?请选择一对进行证明.
分析:图中有两对相似三角形:(1)△ADE∽△AEC或(2)△BCD∽△ACB;
(1)首先由∠BDC=60°、CE⊥DE证得CD=2DE,由此可得出AD=DE,即∠DAE=∠DEA=30°,即可证得∠DEA=∠ECA=30°,加上公共角∠EAC,即可判定两个三角形相似;
(2)同(1)可证得∠EAC=∠ECA=30°,进一步可证得∠EBA=∠EAB=15°;由此可得出AE=BE=CE,即△CEB是等腰Rt△;则∠CBE=45°=∠BAC,再加上公共角∠BCD,即可判定两个三角形相似.
解答:解:
图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对.(2分)
证明(1)△ADE∽△AEC.
∵CE⊥BD于E,
∴∠CED=90°.
∵∠BDC=60°,
∴∠ECD=30°.
∴CD=2ED.(3分)
∵CD=2AD,
∴AD=ED.(4分)
∴∠DEA=∠DAE.
∵∠BDC=60°,
∴∠DEA=∠DAE=30°,
∴∠DEA=∠ECD=30°.(5分)
∵∠DAE=∠EAC,
∴△ADE∽△AEC.(6分)

证明(2)△BCD∽△ACB
提示:在证明△BCD∽△ACB时
证出①AE=CE,(给1分)
②AE=BE,(给到2分)
③∠CBD=45°,(给到3分)
④△BCD∽△ACB.(给到4分)
点评:此题主要考查的是相似三角形的判定和性质.
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