Question

（2008•朝阳区一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形，
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：

菱形或正方形

，
（2）如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．求证：AD²+BC²=AB²+DC²，即四边形ABCD是等平方和四边形．

（3）如果将图（1）中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转α度（0＜α＜90）后得到图（2），那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求．
（2）根据AC⊥BD和勾股定理易证得AD²+BC²=AB²+DC²即四边形ABCD是等平方和四边形．
（3）作出原梯形A′BCD′，连接AC、BD交于O′，首先证明A′OD′∽△COB，再证明△AOC∽△DOB，可得∠AOD=∠AOD=90°，以下同（2）的证法即得到AD²+BC²=AB²+DC²即四边形ABCD是等平方和四边形．

解答：解：（1）菱形或正方形；（1分）

（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°
∴OA²+OD²=AD²；OB²+OC²=BC²；OA²+OB²=AB²；OD²+OC²=DC²．
∴AD²+BC²=AB²+DC²即四边形ABCD是等平方和四边形．（3分）

（3）解：四边形ABCD是等平方和四边形．
证明：原梯形记为A′BCD′，
依题意旋转后得四边形ABCD，连接AC、BD交于点O′，

∵A′D′∥BC，
∴A′OD′∽△COB，
∴

OA′

OC

=

OD′

OB

，
∵OA′=OA，OD′=OD，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，
∵∠AOA'=∠DOD'=α，
∴∠AOC=∠DOB=180°-α，
又∵

OA

OC

=

OD

OB

，
∴△AOC∽△DOB；（5分）
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4，
∴∠AO′D=∠AOD=90°，
由（2）的结论得：AD²+BC²=AB²+DC²．
即四边形ABCD是等平方和四边形．（7分）

点评：本题考查学生对一个新的定义的理解，涉及到相似三角形的判定及性质、勾股定理的、菱形、正方形的性质等知识点，是一道考查学生综合能力的好题．