Question

如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置．
（1）旋转中心是点

B

，点P旋转的度数是

90

度；
（2）连接PP′，△BPP′的形状是

等腰直角

三角形；
（3）若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
①求△BPP′的周长；
②求PC的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的定义解答；
（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；
（3）①根据勾股定理列式求出PP′，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解；
②先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，
∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度；

（2）根据旋转的性质BP=BP′，
∵旋转角为90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形；

（3）①∵PB=4，
∴PP′=

PB2+P′B2

=

42+42

=4

2

，
∴△BPP′的周长=PB+P′B+PP′=4+4+4

2

=8+4

2

；
②∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，PC=

PP′2+P′C2

=

(4 2 )2+22

=

36

=6．
故答案为：（1）B；（2）等腰直角．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，正方形的性质，勾股定理的应用，难度不大，熟练掌握旋转的定义与性质是解题的关键．