Question

如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵A、B在抛物线上，
∴当，当。 即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。
设直线AB的函数关系式为， ∴ 得方程组：
             ，解之，得  。
直线AB的解析式为。
（2）依题意有P、M、N 的坐标分别为
P（t，0），M（t，），N（t，）

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有
，解得，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。
当t=1时，，，故。
又在Rt△MPC中，，故MN=MC，
此时四边形BCMN为菱形。
当t=2时，，，故。
又在Rt△MPC中，，故MN≠MC。
此时四边形BCMN不是菱形。解析:
（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。
（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式。
（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。再讨论邻边是否相等。