Question

如图，直线分别与两坐标轴交于A，B两点，点C从A点出发沿射线BA方向移动，速度为每秒1个单位长度．以C为顶点作等边△CDE，其中点D和点E都在x轴上．半径为的⊙M与x轴、直线AB相切于点G、F．

（1）直线AB与x轴所夹的角∠ABO＝    　    °；

（2）求当点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE与⊙M相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）30；（2）4或.

【解析】

试题分析：（1）根据直线解析式求出OA、OB的长度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度数：直线AB的解析式为，令x=0，则y=1，令y=0，则，∵，∴∠ABO=30°；（2）设点C移动t秒后与⊙M相切，分两种情况讨论，①当CE在⊙M左侧相切于点H；②当CE在⊙M右侧相切于点H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案.

试题解析：（1）30；

（2）设点C移动t秒后与⊙M相切，

①当CE在⊙M左侧相切于点H，如图（1），连接MF、MG、MH，

∵AB、CE、BO均为⊙M的切线，∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO.

∵∠ABO=30°，△CDE是等边三角形，∴∠BCE=90°. ∴四边形CHMF为矩形.

∵MF=MH，∴四边形CHMF为正方形. ∴CH=MH=.

∵EH、EG为⊙M的切线，∠CED=60°，∴∠HEM=60°. ∴.

∵，∴，解得t=4.

②当CE在⊙M右侧相切于点H（如图（2）），

由①证得：CH=MH=.

∵∠HEM=30°，∴.

∴，解得，t=．

考点：1.圆的综合题；2.动点问题；3．锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.切线的性质；6. 等边三角形的性质；7. 正方形的判定和性质；8.分类思想的应用.