题目内容

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标．
（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由A（2，1）为抛物线顶点，设抛物线解析式为y=a（x-2）²+1，
将O（0，0）代入，得a（0-2）²+1=0，解得a=- $\text{[math]}$ ，
所以，抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+1，即y=- $\text{[math]}$ x²+x；

（2）设平行线x轴的直线为y=m，C、D两点横坐标为x₁、x₂，
联立 $\text{[math]}$ ，解得x²-4x+4m=0，
则CD=|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当以CD为直径的圆恰好与x轴相切时，CD=2|m|，即 $\text{[math]}$ =2|m|，
整理，得m²+4m-4=0，解得m=-2±2 $\text{[math]}$ ，
由抛物线的对称性可知，圆心在抛物线的对称轴上，
所以，圆心坐标为（2，-2+2 $\text{[math]}$ ），（2，-2-2 $\text{[math]}$ ）；

（3）不存在．
由抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+x，得B（4，0），已知A（2，1），
所以，直线OA解析式为y= $\text{[math]}$ x，直线AB解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2，
当△OBN与△OAB相似时，△OBN为等腰三角形，
①若ON为△OBN底边，ON∥AB，设直线ON解析式为y=- $\text{[math]}$ x+p，
将O（0，0）代入，得p=0，所以，直线ON解析式为y=- $\text{[math]}$ x，
联立 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则N（6，-3）；
则OB≠BN，
∴ON为△OBN底边时不符合题意；
②若NB为△OBN底边，NB∥OA，设直线BN解析式为y= $\text{[math]}$ x+q，
将B（4，0）代入，得q=-2，所以，直线BN解析式为y= $\text{[math]}$ x-2，
联立 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则N（-2，-3）；
则ON= $\text{[math]}$ ，OB=4，
∵ $\text{[math]}$ ≠4，
∴ON≠OB，
∴NB为△OBN底边的等腰△ONB不存在．
综上可得点N不存在．
分析：（1）由A（2，1）为顶点，设抛物线顶点式，将O（0，0）代入求抛物线解析式；
（2）设平行线x轴的直线为y=m，将y=m与（1）中的抛物线解析式联立，求|x₁-x₂|，根据|x₁-x₂|=2|m|，列方程求m的值，确定该圆的圆心坐标；
（3）不存在．所得△OBN为等腰三角形，其底边为ON或BN，当ON为底边时，ON∥AB，当NB为底边时，NB∥OA，根据OA，AB的直线解析式，分别求NB，ON的解析式，再与抛物线解析式联立，求N点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据顶点坐标利用顶点式求抛物线解析式，根据圆与x轴相切时，直径半径的关系列方程，利用平行线构造等腰三角形，解方程组得出相似三角形的第三个顶点坐标．