Question

【题目】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．

（1）求证：∠BCD=∠CBD；

（2）若BE=4，AC=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）2.

【解析】

（1）根据OD⊥BC于E可知，所以BD=CD，故可得出结论；

（2）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于点O是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故,在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．

解：（1）∵OD⊥BC于E，

∴，

∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，

在Rt△OBE中，
∵BE=4，OE=3，

，即OD=OB=5，
∴DE=OD-OE=5-3=2．