Question

已知⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，求证：∠AOD+∠BOC=180°．

Answer 1

解：连接AC，BD，
由圆周角定理得：∠AOD=2∠ABD，∠BOC=2∠BOC，∠CAB=∠CBD
∵弦AB⊥弦CD
∴∠ABD+∠BDC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=2∠ABD+2∠BOC=2（∠ABD+∠BDC）=2×90°=180°
分析：连接AC，BD，由圆周角定理得：∠AOD=2∠ABD，∠BOC=2∠BOC，∠CAB=∠CBD，然后利用垂直的定义求得∠ABD+∠BDC=90°，从而得证．
点评：本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造同弧所对的圆心角和圆周角．