题目内容

在△ABC中，∠ACB=90°，点D在直线BC上，BD=6，AD=BC，AC：CD=5：12．求S_△ABD．

解：设AC=5x，则CD=12x，根据勾股定理求得，AD=13x，因为AD=BC，所以BC=13x，
①点D在线段BC上时，
BD=BC-CD=13x-12x=x=6，
则AC=30，CD=72，BC=78．
∴S_△ABD=S_△ABC-S_△ACD= $\text{[math]}$ AC•BC- $\text{[math]}$ AC•CD= $\text{[math]}$ ×30×78- $\text{[math]}$ ×30×72=90；
②点D在线段BC外时，
BD=BC+CD=13x+12x=25x=6，则x= $\text{[math]}$ ，
∴AC= $\text{[math]}$ ，CD= $\text{[math]}$ ，AD=BC= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ BD•AC= $\text{[math]}$ ×6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：设AC=5x，则CD=12x，根据勾股定理求得，AD=13x，因为AD=BC，所以BC=13x，
①点D在线段BC上时，BD=BC-CD=13x-12x=x=6，由此求出AC，CD，BC．而S_△ABD=S_△ABC-S_△ACD，把已知数据代入即可求出面积；②点D在线段BC外时，BD=BC+CD=13x+12x=25x=6，由此可以求出x，然后求出AC，CD，AD，BC，而S_△ABD= $\text{[math]}$ BD•AC，直接代入数据即可求出结果．
点评：因为点D在直线BC上，所以两种情况应该考虑到：（1）点D在线段BC上；（2）点D在线段BC外．此题主要用到了勾股定理、三角形的面积公式等知识点．