题目内容

已知：如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=精英家教网15，∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，
（1）求m、n的值．
（2）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式．
（3）在（2）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交y轴于N，使以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由题意，可知OC=6，AB=15，据直角三角形的图象关系，可得：OC2=OA•OB，OB=AB-OA，解方程可的OA、OB的值，tan∠CAB、tan∠CBA可求，又∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，故m、n可求．
（2）过D点DE⊥AC，垂足为E，
因为∠ACB的角平分线交x轴于D，所以∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；由OA=12，OB=3，得AC=6
5
；BC=3
5
，令DE=CE=y，则
AD
AB
=
DE
BC
，即AD=
15y
3
5
①，又CD=
2
y，AE=AC-CE=6
5
-y，可得AD=
AE2+DE2
=
y2+(6
5
-y)2
②，由①②可得：y=2
5
，∴AD=10，∴OD=2，∴D点坐标为（-2，0），从而直线CD的解析式可求．
（3）存在，M1（3，15），M2（-3，-3）．
解答：精英家教网解：（1）∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BCO=90°，
∴∠A=∠BCO，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB
∴
OC
OA
=
OB
OC
，
∴OC2=OA•OB，
又∵OB=AB-OA，
∴
6
OA
=
15-OA
6
，解得OA=12或3，由∠CBA＞∠CAB
∴OA=12，OB=3．
∴tan∠CAB=
1
2
，tan∠CBD=2，
∵tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，
∴
1
4
+
1
2
m+n=0①，4+2m+n=0②；
解①②组成的方程组，得：m=-
5
2
，n=1．

（2）过D点作DE⊥AC，垂足为E，
∵∠ACB的角平分线交x轴于D，
∴∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；
∵OA=12，OB=3，
∴AC=6
5
；BC=3
5
，令DE=CE=y，
则
AD
AB
=
DE
BC
，
∴AD=
15y
3
5
①，又CD=
2
y，AE=AC-CE=6
5
-y，
∴AD=
AE2+DE2
=
y2+(6
5
-y)2
②，
由①②可得：y=2
5
，
∴AD=10，
∴OD=2，
∴D点坐标为（-2，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入解得：k=3，b=6，
∴y=3x+6．

（3）存在，M1（3，15），M2（-3，-3）
点评：本题是代数与几何相结合的综合考查题，所用到的知识面广，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系中，直y=
3
2
x+b与双曲线y=
16
x
相交于第一象限内的点A，AB、AC分别垂直于x轴、y轴，垂足分别为B、C，已知四边形ABCD是正方形，求直线所对应的一次函数的解析式以及它与x轴的交点E的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
（3）当竖直摆放圆柱形桶
8，9，10，11或12
8，9，10，11或12
个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）
已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
13
x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

（1）求出点C的坐标；
（2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
（3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
若有，请求出所有满足要求的t值.
如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
（3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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