Question

如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交O于点D，连接CD，
（1）求证：∠COD=2∠ACD；
（2）若CD=，⊙O的半径r=3．求AC的长．

Answer 1

（1）证明：过O作OE⊥CD，垂足为E，
∴∠COE=∠DOE=∠COD，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴∠ACD+∠OCE=90°，
∴∠ACD=∠COE，
∴∠COD=2∠ACD；

（2）解：过D作DG⊥AC于G，
∵∠ACD=∠COE，
∴△OCE∽△CDG，
∵CD=，r=3．
∴DG=；
∵∠DAG=∠OAC，
∴△AGD∽△ACO，
∴AD=2，
∴AO=5；
∴AC=4．
分析：（1）过O作OE⊥CD，垂足为E，根据OC=OD，可得出△OCD是等腰三角形，结合切线的性质，利用等角代换可得出结论．
（2）过D作DG⊥AC于G，先证△OCE∽△CDG，求出DG=；再证△AGD∽△ACO，求出AD=2，进而得出AO=5；最后由勾股定理得出AC=4．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．