Question

如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃，…，过点A₁、A₂、A₃、…分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P₁、P₂、P₃、…，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、…，设其面积分别为S₁、S₂、S₃、…，则S_n的值为________．

Answer 1

分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA₁P₁，△OA₂P₂，△OA₃P₃，…，△OA_nP_n的面积都为1，而A_n-1A_n为OA_n的，且△A_n-1A_nP_n与△OA_nP_n的高为同一条高，故△A_n-1A_nP_n的面积为△OA_nP_n的面积的，由△OA_nP_n的面积都为1，得出△A_n-1A_nP_n的面积，即为S_n的值．
解答：连接OP₂，OP₃，…，OP_n，如图所示：

∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
∴S==1，即S_△OA1P1=S_△OA2P2=S_△OA3P3=…=S_△OAnPn=1，
又OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n，∴A_n-1A_n=OA_n，
∴S_n=S_△An-1AnPn=S_△OAnPn=．
故答案为：
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=．