题目内容
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．（1）若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；
（2）在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=
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分析：根据已知及等边三角形的性质可求得BD=DP，即△DBP是等腰三角形；Q点的坐标需分三种情况进行分析，分别是若点Q在x轴负半轴上，若点Q在x轴上，若点Q在x轴正半轴上．
解答：证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是中线
∴∠DBC=30°
∵CP=CD
∴∠CPD=∠CDP
又∵∠ACB=60°
∴∠CPD=30°
∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP
即△DBP是等腰三角形；
（2）在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形
①若点Q在x轴负半轴上，且BQ=BD
∵BD=
∴BQ=
∴OQ=
+1
∴点Q1（-
-1，0）；
②若点Q在x轴上，且BQ=QD
∵∠QBD=∠QDB=30°
∴∠DQC=60°
又∠QCD=60°
∴QC=DC=1，而OC=1
∴OQ=0，
∴点Q2（0，0）；
③若点Q在x轴正半轴上，且BQ=BD
∴BQ=
，而OB=1
∴OQ=
-1
∴点Q3（
-1，0）．
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是中线
∴∠DBC=30°
∵CP=CD
∴∠CPD=∠CDP
又∵∠ACB=60°
∴∠CPD=30°
∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP
即△DBP是等腰三角形；
（2）在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形
①若点Q在x轴负半轴上，且BQ=BD
∵BD=
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∴BQ=
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∴OQ=
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∴点Q1（-
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②若点Q在x轴上，且BQ=QD
∵∠QBD=∠QDB=30°
∴∠DQC=60°
又∠QCD=60°
∴QC=DC=1，而OC=1
∴OQ=0，
∴点Q2（0，0）；
③若点Q在x轴正半轴上，且BQ=BD
∴BQ=
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∴OQ=
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∴点Q3（
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点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定及等边三角形的性质的掌握情况；分情况讨论是正确解答本题的关键．
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