Question

【题目】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC、OD，使得∠COD=90°

（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOF的度数是__________度；

（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE的数量关系；

（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，若∠EOC=3∠EOF，直接写出∠AOE的度数

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）∠BOD=2∠COE；（3）67.5°.

【解析】

（1）由∠COD=90°，则∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，得∠COE+∠DOF=45°，即可求出∠EOF的度数；

（2）由题意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°∠AOD，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果；

（3）由角平分线定义得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∠COF=4x，根据题意得出方程，解方程即可．

解：（1）如图：

∵∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

∴∠COE+∠DOF=，

∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=45°+90°=135°；

故答案为：135°；

（2）∠BOD=2∠COE；

理由如下：如图，

∵∠COD=90°．

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=∠AOD，

又∵∠BOD=180°∠AOD，

∴∠COE=∠AOE∠AOC

=∠AOD（90°∠BOD）

=（180°∠BOD）90°+∠BOD

=∠BOD，

∴∠BOD=2∠COE；

（3）如图，

∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，

∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，

∵∠EOC=3∠EOF，

设∠EOF=x，则∠EOC=3x，

∴∠COF=4x，

∴∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，

∵∠COD=90°，

∴4x+4x=90°，

解得：x=11.25°，

∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．