题目内容

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，点P从点A出发沿折线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，同时，点Q从点A出发沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q的运动时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点B时，求t的值；
（2）设△APQ的面积为S，分别求出点P运动到AD、CD上时，S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，能使PQ∥DB；
（4）是否存在t值，使PQ⊥AC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请简要说明理由．

解：（1）如图1，过C点作CE⊥AB，
∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD=CE，AE=CD，
∵AB=6，AD=4，DC=3，
∴AD=CE=4，AE=CD=3，EB=AB-AE=3，
∴BC= $\text{[math]}$ =5，
∴点P到达终点B时，所走的路程为AD+CD+BC=4+3+5=12，
∵点P从点A出发沿折线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，
∴当点P到达终点B时，t= $\text{[math]}$ =4．
答：t的值为4；

（2）当点P运动到AD时上时，
∵△APQ为直角三角形，△APQ的面积为S，
∴s= $\text{[math]}$ PA•AQ，
∵点P从点A出发沿折线段AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，
点Q从点A出发沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，
∴s= $\text{[math]}$ ×3t×2t=3t²．
当点P运动到DC时上时，
s= $\text{[math]}$ ×AD×2t= $\text{[math]}$ ×4×2t=4t，
答：点P运动到AD上时，S与t的函数关系式为s=3t²；
当点P运动到DC时上时，S与t的函数关系式为s=4t，

（3）若PQ∥DB，则点P、Q必在DB同侧．
①当点Q在AB上，点P在AD上时，

∵AP：AQ=3t：2t=3：2，
而AD：AB=4：6=2：3，
∴AP：AQ≠AD：AB，则此情景下PQ不平行DB；
②因点Q沿射线AB运动，

所以点Q在AB延长线上，点P在CB上时，即当3＜t＜4 时，PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，设直线PQ交DC与N，
∵DC∥AB，
∴△PCN∽△PBQ，
∴CN：BQ=PC：PB，则CN= $\text{[math]}$ ；
又∵NQ∥DB，
∴CN：CD=CP：CB，
则CN= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ （符合题意）．
综上情景①、②所述，当t= $\text{[math]}$ 时，PQ∥DB．

（4）存在t=3 $\text{[math]}$ ，使PQ⊥AC．理由如下：
分四种情况讨论：
①当0＜t≤ $\text{[math]}$ 时，P在AD上，Q在AE上，设PQ与AC交于点O；
如图，若PQ⊥AC，则△AOP∽△ADC，∴AP：AC=AO：AD，∴3t：5=AO：4，∴AO= $\text{[math]}$ t，
又若PQ⊥AC，则△QOA∽△ADC，∴OA：DC=AQ：AC，∴AO：3=2t：5，∴AO= $\text{[math]}$ t，
∴ $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t，∴t=0，此解不符合题意，则此时PQ⊥AC不成立；

②当 $\text{[math]}$ ＜t≤ $\text{[math]}$ 时，P在DC上，Q在AB上，设PQ与AC交于点O；
如图，若PQ⊥AC，则△COP∽△CDA，∴CP：AC=OC：CD，∴（7-3t）：5=OC：3，∴OC= $\text{[math]}$ （7-3t），
又若PQ⊥AC，则△QOA∽△ADC，∴OA：DC=AQ：AC，∴AO：3=2t：5，∴AO= $\text{[math]}$ t，
∵OC+OA=AC，∴ $\text{[math]}$ （7-3t）+ $\text{[math]}$ t=5，∴t=- $\text{[math]}$ ，此解不符合题意，则此时PQ⊥AC不成立；

③当 $\text{[math]}$ ＜t≤3时，P在CB上，Q在AB上；
如图，显然此时PQ不可能与AC垂直；
④当3＜t≤4时，P在CB上，Q在AB的延长线上，设直线PQ与AC交于点O，过点P作PM⊥AB于M．
在△BPM中，PM=BP•sin∠PBM= $\text{[math]}$ BP= $\text{[math]}$ （12-3t），MQ= $\text{[math]}$ ．
由△QAO∽△ACD，得AO：AQ=CD：AC=3：5．

过点P作PN⊥OQ交AB于N．则PN=BP=12-3t，BN=2BM= $\text{[math]}$ BP，
NQ=BN+BQ= $\text{[math]}$ BP+（2t-6）= $\text{[math]}$ ．
由△QOA∽△QPN，得AO：AQ=PN：NQ，
即3：5=BP： $\text{[math]}$ ，
∴25BP=18BP+30t-90，
∴7BP=7（12-3t）=30t-90，
∴51t=174，
解得t=3 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
综上可知，当t=3 $\text{[math]}$ 时，PQ⊥AC．
分析：（1）把AD，DC，BC它们的和求出来再除以速度每秒3个单位就可以求出t的值；
（2）当点P运动到AD时上时，根据△APQ为直角三角形，△APQ的面积为S，点P和点Q的运动速度．即可求出S与t的函数关系式；同理，求出当点P运动到DC时上时的函数关系式．
（3）如图，假设t秒后PQ∥DB，利用△PCN∽△PBQ，得出对应边的比值，即可求出．
（4）假设存在t值，使PQ⊥AC，分四种情况讨论即可．
点评：此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用直角梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．此题属于难题．