Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，

∵=，

∴∠1=∠2，

∵OC=OA，

∴∠1=∠OCA，

∴∠2=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结BE交OC于F，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，tan∠CAB==，

而BC=3，

∴AC=4，

∴AB==5，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴=，即=，解得AD=，

∵=，即=，解得CD=，

∵=，

∴OC⊥BE，BF=EF，

∴四边形DEFC为矩形，

∴EF=CD=，

∴BE=2EF=，

∵AB为直径，

∴∠BEA=90°，

在Rt△ABE中，AE===，

∴DE=AD﹣AE=﹣=．