Question

阅读探究：
例：如图1，△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N．求证：AM=MN．
思路点拨：取的AB中点P，连结PM 易证△APM ≌△MCQ 从而AM=MN．
问题解决：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形 ABCD的外角∠DCQ的平分线．
        ①填空：当∠AMN = __________ °时，AM=MN；
        ②证明①的结论．

（2）请根据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题．（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明．）

Answer 1

（1）①填空：当∠AMN =90°时，AM=MN；          ②证明：取的AB中点P，连结PM               ∵四边形ABCD是正方形               ∴∠PAM +∠AMB =90°               ∵∠AMN =90°                ∴∠CMN+∠AMB =90°              ∴∠PAM = CMN              ∵点M是边BC的中点 点P是边AB的中点 AB=BC              ∴AP=MC BP=BM              ∵∠B =90°               ∴△BPM是等腰直角三角形              ∴∠BPM =45°              ∴∠APM =135°              ∵∠DCB =90°               ∴∠DCQ =90°              ∴∠NCQ =45°              ∴∠MCN =135°              ∴∠APM =∠MCN               ∴△APM ≌△MCQ               ∴AM=MN．

（2）正五边形ABCDE中点M是边BC的中点，CN是正五       边形ABCDE的外角∠DCQ的平分线，当∠AMN =108°．   求证：AM=MN．