Question

【题目】已知点P是直线上一定点，点A是x轴上一动点不与原点重合，连接PA，过点P作，交y轴于点B，探究线段PA与PB的数量关系．

1如图，当轴时，观察图形发现线段PA与PB的数量关系是______；

2当PA与x轴不垂直时，在图中画出图形，线段PA与PB的数量关系是否与Ⅰ所得结果相同？写出你的猜想并加以证明；

3 为何值时，线段？此时的度数是多少，为什么？

Answer 1

【答案】(1) PA=kPB;(2)相同，PA=kPB，证明见解析；（3）当k=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°．

【解析】试题分析：（1）由PA⊥x轴，PB⊥PA，OB⊥OA，可得点P的坐标为（PB，P A），又由点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，即可得PA=kPB；

（2）首先过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设P（x，kx），易证得Rt△APC∽Rt△BPD，由相似三角形的对应边成比例，易证得PA=kPB；

（3）由（2）得：PA=kPB，当k=1时，PA=PB，可证得Rt△APC≌Rt△BPD，则可得PC=PD，即可得直线y=kx（k=1）平分一、三象限的夹角，继而求得∠POA的度数．

试题解析：（1）∵PA⊥x轴，PB⊥PA，OB⊥OA，

∴PB∥x轴，PA∥y轴，

∴点P的坐标为（PB，PA），

∵点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，

∴PA=kPB，

故答案为：PA=kPB；

（2）PA=kPB，证明如下：

如图2，过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，

则∠PDB=∠PCA=90°，

设P（x0，kx0），

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD．

∴Rt△APC∽Rt△BPD，

∴,

∴=k，

∴PA=kPB；

（3）当k=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°．

理由：由（2）得：PA=kPB，

则当k=1时，PA=PB．

∵Rt△APC∽Rt△BPD，

∴Rt△APC≌Rt△BPD，

∴PC=PD，

即点P到x轴、y轴的距离相等，

∴直线y=kx（k=1）平分一、三象限的夹角，

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如图3）．