Question

如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A（-1，0），C点的坐标为(0，

3

)．

（1）求M点的坐标；
（2）如图，P为

BC

上的一个动点，CQ平分∠PCD．当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其变化范围；

（3）如图，以A为圆心AC为半径作⊙A，P为⊙A上不同于C、D的一个动点，直线PC交⊙M于点Q，K为PQ的中点，当P点运动时，现给出两个结论：①

CK

PQ

的值不变；②线段OK的长度不变．其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值．

Answer 1

（1）连接MC，设⊙M的半径为R
∵A（-1，0），C（0，

3

），OC²+OM²=MC²
∴(

3

)2+(R-1)2=R2
解得R=2．
∴M点的坐标为（1，0）．

（2）AQ不变，AQ=AC=2．
连接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不变，OK=

3

．
连接PD、QD、KD，
∵AC=

( 3 )2+12

=2
∴⊙A的半径为2
∵⊙A的半径为2，⊙M的半径为2
∴⊙A、⊙M为等圆
∴

DAC

=

DMC

∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K为PQ的中点
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴OK=

1

2

CD=OC=

3

．