题目内容
如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．
（1）证明：连接OC，
∵∠PCE=2∠BDC，
∴∠PCE=∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AE：EB=2：1，
∵CD⊥AB，OC⊥CP，
∴OC2=OP•OE，
设EB=x，则AE=2x，OE=
，OC=
，
∴（
）2=（
+6）•
解方程得：x1=0（舍去），x2=2，
∴OE=1，OC=3，
∴CE=
=2
，
∴CD=2CE=4
．
∵∠PCE=2∠BDC，
∴∠PCE=∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AE：EB=2：1，
∵CD⊥AB，OC⊥CP，
∴OC2=OP•OE，
设EB=x，则AE=2x，OE=
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
∴（
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
解方程得：x1=0（舍去），x2=2，
∴OE=1，OC=3，
∴CE=
| OC2-OE2 |
| 2 |
∴CD=2CE=4
| 2 |
练习册系列答案
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∠DAB，延长AB交DC于点E．
