Question

如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B．
（1）求一次函数解析式和B点坐标．
（2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标．
（3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．

Answer 1

分析：（1）把（-1，0），（1，4）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
（2）证△AOB∽△BOP，求出OP即可；
（3）证△OMN∽△OBP，得到比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）把（-1，0），（1，4）代入y=kx+b，
得

0=-k+b 4=k+b

，
解得：k=2，b=2，
∴y=2x+2，
在y=2x+2中，令x=0，得y=2，
∴B（0，2）．
答：一次函数解析式是y=2x+2，B点坐标是（0，2）．

（2）∵∠ABP=90°，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，∠ABO+∠PBO=90°，
∴∠BAO=∠PBO，∠AOB=∠POB=90°，
∴△AOB∽△BOP，
∴OB²=OA•OP，
∴OP=4，
∴P（4，0）．
答：点P的坐标是（4，0）．

（3）∵MN∥BP，
∴△OMN∽△OBP，
∴

OB

OM

=

OP

ON

，
∴

2

a

=

4

b

，
∴

a

b

=

2

4

=

1

2

，
答：a：b的值是1：2．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．