题目内容

如图，在直角坐标系中，△AOB是Rt△，∠AOB=30°，∠A=90°，OB=12，点P在OA上，且OP=4 $数学公式$ ，过P点作直线截△AOB的两边，使截得的三角形与△AOB相似，那么满足这样的条件的直线的解析式为________．

x=6，y= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
分析：当过P点的直线平行于x轴，平行于y轴，平行于直线AB时，都能使截得的三角形与△AOB相似，根据OP=4 $\text{[math]}$ ，∠AOB=30°，求出P点坐标，再求出过P点且满足条件的直线解析式．
解答：过P点作PC⊥x轴，垂足为C，作PD∥AB交x轴于点D，

在Rt△OPC中，OP=4 $\text{[math]}$ ，∠AOB=30°，
∴OC=6，PC=2 $\text{[math]}$ ，即P（6，2 $\text{[math]}$ ）
同理，在Rt△OPD中，OD=8，即D（8，0）
设直线PD解析式为y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
∴y=- $\text{[math]}$ x+8 $\text{[math]}$ ，
∴满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2 $\text{[math]}$ 或者y=- $\text{[math]}$ x+8 $\text{[math]}$ ；
当直线如图c位置时，同理可求得：y=- $\text{[math]}$ x+4 $\text{[math]}$ ．
故满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2 $\text{[math]}$ 或者y=- $\text{[math]}$ x+8 $\text{[math]}$ 或y=- $\text{[math]}$ x+4 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了相似三角形的判断方法，直线解析式的求法，分类讨论的思想．