Question

【题目】如图，与轴交于点C，与轴的正半轴交于点K，过点作轴交抛物线于另一点B，点在轴的负半轴上，连结交轴于点A，若．

（1）用含的代数式表示的长；

（2）当时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）过点作轴交轴于点延长至，使得连结交轴于点连结AE交轴于点若的面积与的面积之比为则求出抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BC=m；（2）点D在抛物线上，理由见解析； （3）．

【解析】

（1）先求出抛物线的对称轴，然后根据点C与点B关于对称轴对称即可求出BC的长；

（2）根据题意即可求出BC和二次函数解析式，根据利用平行证出△AOD∽△ACB，列出比例式即可求出点D的坐标，最后代入解析式即可判断结论；

（3）根据已知条件可得点E的坐标为（m，），即OF=m，EF=，△ODG∽△FDE，然后用m表示出OD、DF、OG、MF和OM，再利用平行证出△AOM∽△EFM，列出比例式即可求出m的值，从而求出结论．

解：（1）图象的对称轴为直线x=，点C与点B关于对称轴对称

∴BC==m；

（2）在，理由如下

当m=2时，BC=2，

∵，

∴△AOD∽△ACB

∴

∴OD=BC=1

∴点D的坐标为（-1,0）

当x=-1时，

∴点D在抛物线．

（3）∵，

∴点E的坐标为（m，），即OF=m，EF=，△ODG∽△FDE

由（2）可知

∴OD=BC=m，OA=OC

∴DF=OD＋OF=m

∴

即

解得：OG=m

∵的面积与的面积之比为

∴EF·MF=2×OD·OG

即··MF=2×·m·m

解得：MF=m

∴OM=OF－MF=m

将x=0代入中，解得y=3

∴OC=3

∴OA=1

∵OA∥EF

∴△AOM∽△EFM

∴

即

解得：m=1

∴抛物线的解析式为