Question

如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为；
（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．
①仔细观察，在图2中有

6

个以线段AD为边的“8字形”；
②若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；
③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，不需说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，根据对顶角相等得∠AOD=∠BOC，所以∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①以M为交点的“8字形”有1个，以N为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）中的结论得到∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，两等式相减得到∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），然后把∠D=40°，∠B=36°代入计算即可；
③由②的证明得到∠P=

1

2

（∠D+∠B）．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，
而∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①6；
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），
∵∠D=40°，∠B=36°
∴∠P=

1

2

（40°+36°）=38°；    
（4）∠P=

1

2

（∠B+∠D）．
故答案为6．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．