Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A（0，2），C（-1，0），如图所示．
（1）求点B的坐标；
（2）若以（-

1

2

，-

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8

）为顶点的抛物线经过点B，求该抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若过B作BD⊥x轴于D，易证得△BCD≌△CAO，则BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B点坐标为：B（-3，1）．
（2）将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a的值，也就求得了抛物线的解析式．
（3）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质解答即可．

解答：解：（1）过B作BD⊥x轴于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）∵以（-

1

2

，-

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）为顶点的抛物线经过点B，则有：
y=a（x+

1

2

） ²-

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，
将B（-3，1）代入得出：
解得a=

1

2

；
∴y=

1

2

（x+

1

2

） ²-

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8

，

（3）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，
则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形
过P作PF⊥x轴于F，易证△BDC≌△PFC，
∴CF=CD=2PF=BD=1，
∴P（1，-1），
将（1，-1）代入抛物线的解析式满足；
若∠CAP=90°，AC=AP₁，
则四边形ABCP₁为平行四边形，
过P₁作P₁G⊥y轴于G，易证△P₁GA≌△CDB，
∴P₁G=2，AG=1，
∴P₁（2，1）在抛物线上，
∴存在P（1，-1），（2，1）满足条件．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式、函数图象交点等知识，利用等腰三角形的性质得出P点的位置是解题关键．