Question

如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

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4

，为什么？

Answer 1

分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据AB∥DC即可得到结论．
（2）当P点运动到AB边的中点时，S_△ADP=

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4

S_菱形ABCD，证明S_△ADP=

1

2

×

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2

AB•DP=

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S_菱形ABCD即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S_△ADP=

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S_菱形ABCD．（8分）
理由：连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S_△ADP=

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AP•DP，S_菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=

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2

AB
∴S_△ADP=

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2

×

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2

AB•DP=

1

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S_菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

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．（12分）

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，S_△ADP=

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S_菱形ABCD是难点．