Question

已知，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30゜，点P是直线l上的一个动点（与O不重合），直线CP与⊙O交于点Q，且QP=QO．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，求∠OCP的度数．
（2）如图2，当点P在OA的延长线上时，求∠OCP的度数．
（3）如图3，当点P在OB的延长线上时，求∠OCP的度数．

Answer 1

分析：（1）设∠OCP=x，根据等边对等角可得∠OCP=∠Q，∠POQ=∠OPQ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OPQ，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可；
（2）设∠Q=x，根据等边对等角可得∠OCQ=x，∠QOP=∠QPO，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OCQ=∠QPO+∠AOC，然后列出方程求出x，再根据邻补角的定义列式计算即可得解；
（3）设∠QPO=x，根据等边对等角可得∠QPO=∠QOP，∠OQC=∠OCP，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OQC=∠QPO+∠QOP，∠AOC=∠QPO+∠OCP，然后求出x，从而得解．

解答：解：（1）如图1，设∠OCP=x，
∵OC=OQ，QP=QO，
∴∠OCP=∠Q=x，∠POQ=∠OPQ，
由三角形的外角性质，∠OPQ=∠COP+∠AOC=x+30°，
在△OPQ中，x+（x+30°）+（x+30°）=180°，
解得x=40°，
即∠OCP=40°；

（2）如图2，设∠Q=x，
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=x，
∵QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO=

1

2

（180°-x），
由三角形的外角性质，∠OCQ=∠AOC+∠QPO，
∴30°+

1

2

（180°-x）=x，
解得x=80°，
∴∠OCP=180°-∠OCQ=180°-80°=100°；

（3）如图3，设∠QPO=x，
∵QP=QO，
∴∠QPO=∠QOP=x，
∵OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP=∠QPO+∠QOP=x+x=2x，
由三角形的外角性质，∠AOC=∠QPO+∠OCP=x+2x=30°，
解得x=10°，
∴∠OCP=2×10°=20°．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，读懂题目信息，作出图形更形象直观．