Question

已知抛物线y=x²+4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）抛物线y=x²+4x+c与x轴两交点的距离为2，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程x²+4x+c=0的判别式△＞0来求c的取值范围；
（2）根据题意知x₁-x₂=2（x₁＞x₂），所以根据一元二次方程x²+4x+c=0的根与系数的关系来求c的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程x²+4x+c=0有两个不同的实数根，
∴△=4²-4×1×c＞0，即16-4c＞0，
解得，c＜4，
∴c的取值范围是c＜4；

（2）设抛物线y=x²+4x+c与x轴的两个不同的交点的横坐标为x₁、x₂（x₁＞x₂），则根据题意知，
x₁-x₂=2（x₁＞x₂），
∴x₁-x₂=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(-4)2-4c

=2，
解得，c=3，即c的值是3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．注意，二次函数y=x²+4x+c与一元二次方程x²+4x+c=0间的转换关系．