Question

如图1，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上的一个动点，以BP为直径作半圆，圆心为点O，过点O作OF∥AD，交CD于点F，交半圆O于点E．
（1）如图2，当点P与点D重合时，求EF的长．
（2）当AP为何值时，半圆O会与CD相切？

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理求得OF=

1

2

BC．然后由OE-OF=EF进行计算即可；
（2）如图3，当半圆O与CD相切时，E点和F点重合．设AP=a，则PD=4-a．由梯形中位线定理和勾股定理求得OE=

PD+BC

2

=

4-a+4

2

=BP=

AB2+AP2

=

16+a2

，即

1

2

16+a2

=

4-a+4

2

．通过解该方程可以求得a的值．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，且该正方形的边长是4，则对角线BD=4

2

．
（1）如图2，当P和D重合时，BD就是直径．
∴BO=OD，OF∥AD∥BC
∴OF=

1

2

BC=2．
∵OE=

1

2

BD=2

2

，
∴EF=OE-OF=2（

2

-1）；

（2）如图3，当半圆O与CD相切时，E点和F点重合．
设AP=a，则PD=4-a．
∵点O是PB的中点，OE∥BC∥AD，
∴在梯形PDCB中，OE=

PD+BC

2

=

4-a+4

2

．
在直角△ABP中，根据勾股定理得到BP=

AB2+AP2

=

16+a2

．
∴

1

2

16+a2

=

4-a+4

2

解得，a=3．
因此，当AP=3时，半圆O会和CD相切．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到了正方形的性质，切线的性质，三角形中位线定理与梯形中位线定理，此题综合性比较强，注意数形结合的数学思想的应用，可以使抽象的问题变的具体化，降低了题的难度与梯度．