Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE²+DC²=DE²；④

BE+BF+EF

AB

=

2

．
其中正确的是（　　）

A．①②④

B．①③④

C．①②③

D．②③④BC

Answer 1

分析：由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有③BE²+DC²=DE²是正确的；由DC=BE，EF=ED，DC=BF，可以得出BE+BF+EF=BE+DC+DE=BC，得出④成立．

解答：解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△AED和△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE

∴△AED≌△AEF（SAS），
∴ED=FE
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴在Rt△FBE中BE²+BF²=FE²．
由△ADC≌△AFB和△AED≌△AEF得出DC=BE，EF=ED，DC=BF，
∴BE+BF+EF=BE+DC+DE=BC=

2

AB，
即④成立．
故正确的有①③④，②不一定正确．
故选B

点评：本题考查的知识点较多，由图形的旋转变换、图形的全等、图形的相似、勾股定理等知识点，通过判断可知①③④是正确的．