Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P以1cm/s的速度从A出发沿边AB向点B移动，动点Q以2cm/s的速度同时从点B出发沿BC向点C移动．
（1）△PBQ的面积S（cm²）与点P移动时间t（s）的函数关系式为

 

，其中t的取值范围为

 

；
（2）判断△PBQ能否与△ABC相似，若能，求出此时点P移动的时间，若不能，说明理由；
（3）设M是AC的中点，连接MP、MQ，试探究点P移动的时间是多少时，△MPQ的面积为△ABC面积的

1

4

？

Answer 1

分析：（1）根据三角形面积公式，知△PBQ的面积S=

1

2

×BP×BQ．而BP=AB-AP=6-t，BQ=2t，代入即可求出S与t的函数关系式，由P点只能从A出发沿边AB向点B移动，可知t的取值范围；
（2）假设△PBQ能与△ABC相似，由于∠PBC=∠ABC=90°，则只能点B与点B对应，可分两种情况讨论：①点P与点A对应，即△PBQ∽△ABC；②点P与点C对应，即△PBQ∽△CBA．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的方程，从而求出t值；
（3）如果S△MPQ=

1

4

S△ABC，那么S△APM+S△PBQ+S△MQC=

3

4

S△ABC，又AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t，根据三角形的面积公式可知，只需求出△APM中AP边上的高及△MQC中CQ边上的高，即可根据等量关系列出方程，进而求出方程的解．为此，作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．根据中位线的判定及性质可求出DM、ME的值．

解答：解：（1）S=-t²+6t，0＜t＜6；（2分）

（2）由题意知AP=t，BQ=2t．
①若△PBQ∽△ABC，则

BP

BA

=

BQ

BC

（3分）
∴

6-t

6

=

2t

12

解得t=3，（4分）
②若△PBQ∽△CBA，则

BP

BC

=

BQ

BA

（5分）
∴

6-t

12

=

2t

6

解得t=

6

5

．
即当点P移动3s或

6

5

s时，△PBQ与△ABC相似；（6分）

（3）作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．
∴∠ADM=90°，
又∠B=90°，
∴∠ADM=∠B，
∴DM∥BC，
∴

AD

DB

=

AM

MC

，
又∵M是AC的中点，
∴

AD

DM

=

AM

MC

=1，即D是AB的中点，（7分）
∴DM=

1

2

BC=6．
同理EM=

1

2

BA=3，（8分）
∵S△MPQ=

1

4

S△ABC，
∴S△APM+S△PBQ+S△MQC=

3

4

S△ABC，（9分）
∴

1

2

×t×6+

1

2

×(6-t)×2t+

1

2

×(12-2t)×3=

3

4

×

1

2

×6×12
即t²-6t+9=0．（10分）
t₁=t₂=3，
即点P移动3s时，S△MPQ=

1

4

S△ABC（1分）

点评：本题结合三角形面积公式考查了求二次函数的解析式，结合相似三角形的判定和性质考查了路程问题，以及组合图形面积的计算．