Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P，点M在x轴上方的抛物线上，过M作MG⊥x轴于点G，以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．则点M的坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线的解析式，易求得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；则△ACB是等腰Rt△，由于AP∥BC，可知∠PAC=90°；根据B、C的坐标，用待定系数法可求出直线BC的解析式，而AP∥BC，则直线AP与BC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AP的解析式，联立直线AP和抛物线的解析式，可求出P点的坐标，即可得出AP、AC的长．
在Rt△APC和Rt△AMG中，已知了∠PAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．

解答：解：易知：A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
则OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=

2

；
又∵AP∥BC，
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1，
由于直线AP∥BC，可设直线AP的解析式为y=x+b，由于直线AP过点A（-1，0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1，
联立抛物线的解析式：

y=x+1 y=x2-1

，
解得

x=2 y=3

，

x=-1 y=0

；
故P（2，3）；
∴AP=

(2+1)2+32

=3

2

；
Rt△PAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且PA：AC=3

2

：

2

=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，则AG：MG=1：3或3：1；
设M点坐标为（m，m²-1），（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m²-1，AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时，m²-1=3|m+1|，m²-1=±（3m+3）；
当m²-1=3m+3时，m²-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
当m²-1=-3m-3时，m²+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M₁（4，15），M₂（-2，3）；
②当AM：MG=3：1时，3（m²-1）=|m+1|，3m²-3=±（m+1）；
当3m²-3=m+1时，3m²-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=

4

3

；
当3m²-3=-m-1时，3m²+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=

2

3

（舍去）；
∴M₃（

4

3

，

7

9

）．
故符合条件的M点坐标为：（4，15），（-2，3），（

4

3

，

7

9

）．

点评：此题主要考查了函数图象交点、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等，需注意的是在相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需分类讨论，以免漏解．