Question

已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，∠BAD=120°，M为BC上的点（M不与B、C重合），若△AMN有一角等于60°．
（1）当M为BC中点时，则△ABM的面积为

3

8

a2

（结果用含a的式子表示）；
（2）求证：△AMN为等边三角形；
（3）设△AMN的面积为S，求出S的取值范围（结果用含a的式子表示）．

Answer 1

分析：首先证明四边形ABCD为菱形，根据条件找出相等的线段和角：
（1）利用三角形的面积计算方法直接计算；
（2）分三种情况探讨：①当∠MAN=60°时，连接AC，证△ABM≌△ACN；②当∠AMN=60°时，在AB上截取BE=BM，先证△BEM是等边三角形，再证△AEM≌△MCN；③当∠ANM=60°时，方法同②；
（3）据图可知：当M与A重合，N与C重合时，△AMN的面积最大；当M为BC的中点，N为CD的中点时，△AMN的面积最小．

解答：解：如图，

在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵∠BAD=120°，
∴∠BCD=120°，∠B=∠D=60°，
连AC则，∠BAC=∠DAC=60°，∠BCA=∠DCA=60°，AC=AB=AD．
（1）如上图，
当M为BC中点时，
∴AM⊥BC，
∴S_△ABM=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

a×

3

2

a=

3

8

a2；

（2）①、如图1：

如果∠MAN=60°，
则∠MAC+∠CAN=60°，∵∠BAC=60°，
∴∠BAM+∠MAC=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
AB=AC，
∠B=∠ACN=60°，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN是正三角形；
②、如图2：
如果∠AMN=60°，
则∠AMC=∠B+∠1=60°+∠1，
∵∠AMC=60°+∠2，
∴∠1=∠2，
又∵∠AMN=∠ACN=60°，
∴A、M、C、N 四点共圆，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
AB=AC，
∠B=∠ACN=60°，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN是正三角形；
③、如图3，
如果∠ANM=60°，
则∠ANC=∠D+∠6=60°+∠6，
∵∠ANC=60°+∠5，
∴∠5=∠6，
又∵∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、N、C、M 四点共圆，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
AC=AD，
∠ACM=∠D=60°，
∴△AMC≌△AND，
∴AMAN，
∴△AMN是正三角形；

（3）最大S_△ABM=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

a×

3

2

a=

3

4

a²，
最小S_△ABM=

1

2

×

3

2

a×

3

4

a=

3 3

16

a²，
∴

3 3

16

a²≤S_△ABM≤

3

4

a²．

点评：此题考查菱形的性质与判定，等边三角形的判定，等边三角形面积的计算方法等知识点．