Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE=2，且DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则CE的长是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：由ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到EA=EB，根据等边对等角可得∠A和∠ABE相等，由∠A的度数求出∠ABE的度数，再由∠C和∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，用∠ABC-∠ABE可求出∠EBC的度数为30°，先在直角三角形ADE中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2ED，由ED的长求出AE的长，即为EB的长，再在直角三角形EBC中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得EB=2EC，由EB的长即可求出EC的长．
解答：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，ED⊥AB，又∠A=30，
∴∠A=∠EBA=30°，
在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，
∴AE=BE=2DE=4，
又∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，
在直角三角形CEB中，BE=4，∠EBC=30°，
∴EC=BE=2．
故选B．
点评：此题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．