Question

定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．

（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分成的四个矩形和原来的矩形相似．
（2）在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F，就可以将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1．

解答：解：（1）如图2，作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分得的四个矩形与原矩形相似．（2分）

（2）如图3，在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F，易证：△CDE∽△DBF∽△CBA，
四边形AEDF为平行四边形，
设CE=x，则AE=4-x，
∵△CDE∽△CBA，可得

CE

CA

=

DE

AB

，∴DE=

3

2

x，
∴AF=DE=

3

2

x，（6分）
如果：△AEF∽△ABC，可得

AF

CA

=

AE

AB

，∴CE=

16

13

，
∴AF=

24

13

，CD=

20

13

．（8分）
（其他类似方法同样给分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例以及应用与设计作图的知识点．