Question

【题目】如图甲，抛物线y=x2-+bx+c交x轴于点A(-3，0)和点B，交y轴于点C(0，3)．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
（3）如图乙，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A(3，0)，C(0，3)代入y=x2+bx+c ，
得 解得
故该抛物线的解析式为：y=x22x+3 .
（2）解：设 ;P(x,x22x+3) ，由（1）知，该抛物线的解析式为y=x22x+3，则B(1，0)．
∵S△AOP=4S△BOC ，
∴ ×3×|x22x+3|=4× ×1×3．
整理，得(x+1)2=0或x2+2x7=0，
解得x=1或x=1± ．
则符合条件的点P的坐标为：(1，4)或(1+ ，4)或(1 ，4) 。
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+t ， 将A(3，0)，C(0，3)代入，
得 解得
即直线AC的解析式为y=x+3．
设Q点坐标为(x ， x+3)(3≤x≤0)，则D点坐标为(x ， x22x+3)，
QD=(x22x+3)(x+3)=x23x= + ，
∴当x= 时，QD有最大值 。
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设出P点的坐标，P(x,x22x+3) ，根据平抛物线的解析式求出其与x轴的另一个交点B的坐标,然后根据三角形的面积公式及S△AOP=4S△BOC ， 列出关于x的一元二次方程 ×3×|x22x+3|=4× ×1×3；整理得到(x+1)2=0或x2+2x7=0，求解得出x的值，从而得出符合条件的点P的坐标；
（3）先用待定系数法求出直线AC的解析式，然后设出Q点坐标为(x ， x+3)(3≤x≤0)，则D点坐标为(x ， x22x+3)，根据两点间的距离公式表示出QD=(x22x+3)(x+3)=x23x= ( x + ) 2 + ，从而得出答案。