Question

如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；
（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）连接AC，由E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线的性质，易得EF∥HG∥AC，且EF=HG=

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AC，则可得四边形EFGH是平行四边形；
（2）当BD=AC，易证得四边形ABCD是菱形，当BD⊥AC时，易得∠EHG=90°，则可得四边形EFGH是正方形．

解答：解：（1）四边形EFGH是平行四边形．
理由：连接AC，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，且EF=

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AC，
同理，HG∥AC，且HG=

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AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当BD=AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．
理由：连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=GH=

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AC，GH=FG=

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BD，EH∥BD，GH∥AC，
∵BD=AC，BD⊥AC，
∴EH=EF=FG=GH，EH⊥GH，
∴四边形ABCD是菱形，∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形以及正方形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．