Question

已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．

Answer 1

设这两个正数为a，b．则原题成为已知a³+b³=2，求证a+b≤2．

证明（反证法）：

若a+b＞2由于a³+b³=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a³＞(2-b)³．

→a³＞8-12b+6b²-b³．

→a³+b³＞8-12b+6b²．

→6b²-12b+6＜0．

→b²-2b+1＜0．

→(b-1)²＜0．     矛盾．

∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．