Question

以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC²=AC•BC，则∠CAB=________．

Answer 1

75°或15°
分析：根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°；又有三角形的面积公式：面积=底×高、面积=absinC，及已知条件OC²=AC•BC，求得sin∠AOC=；分类讨论：当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°；当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°；由同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠CAB=∠COB．
解答：解：∵AB为直径，C是半圆周上的点，
∴∠ACB=90°，0A=OB=OC，
∴S_△ABC=AC•BC，
S_△AOC=S_△ABC；
又∵OC²=AC•BC，
∴OC²=2•OC²sin∠AOC，
∴sin∠AOC=；
当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°
∠CAB=∠COB=75°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°
∠CAB=∠COB=15°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）．
故答案为：75°或15°．
点评：本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．