Question

已知：等边△ABC内有一点P，且PC=2，PA=4，PB=，则AB=________．

Answer 1

分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，∠DBP=60°，BD=BP=，可得△BDP是等边三角形，由AD=CP=2，PA=4，根据勾股定理的逆定理可得△ADP是直角三角形，作BF⊥AF，在直角△BFD中，可得BF=，DF=3，所以，在直角△AFB中，AF=5，BF=，即可求出AB的长；
解答：解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，
∴∠DBP=60°，BD=BP=，
∴△BDP是等边三角形，
∴DP=，
又∵AD=CP=2，AP=4，
∴AD²+PD²=AP²，
∴△ADP是直角三角形，
作BF⊥AF，
∴∠FDB=90°-∠BDP=30°，
∴在直角△BFD中，
BF=，DF=3，
∴AF=5，
∴在直角△AFB中，AB²=AF²+BF²，
即AB²=25+3，
∴AB=；
故答案为：．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理的逆定理及旋转的性质，作辅助线构建直角三角形，是解答本题的关键．