题目内容

（2013•新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，Dn，En，Fn（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接DnEn，EnFn，FnDn，可得△DnEnFn．
如图1，当AD1=BE1=CF1=
1
2
AB时，我们容易得到△D1E1F1是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=
1
4
S．
探究论证：
（1）如图2，当AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时，
①△D2E2F2是
等边
等边
三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△AD2F2=
2
9
S
2
9
S
；S△D2E2F2=
1
3
S
1
3
S
（用含S的代数式表示）；
③请说明以上结论的正确性．
猜想发现：
（2）如图3，当ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，
①△DnEnFn是
等边
等边
三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△ADnFn=
n
(n+1)2
S
n
(n+1)2
S
；S△DnEnFn=
n2-n+1
(n+1)2
S
n2-n+1
(n+1)2
S
（用含S的代数式表示）．
实际应用：
（3）学校有一块面积为49m2的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD6=BE6=CF6=
1
7
AB，计划在△D6E6F6内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m2？
分析：（1）①由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2，所以△D2E2F2为等边三角形；
②由等边三角形的性质和面积公式可求；
（2）与上问比较，只是分点的位置由原来的三等分点变成了（n+1）等分点，所以做法与（1）完全一样；
（3）根据AD6=BE6=CF6=
1
7
AB可以推知分点的是6等分点，所以根据（2）中的公式来求得阴影部分的面积．
解答：解：（1）①等边；②
2
9
S，
1
3
S；
③证明：
①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
又∵AD2=BE2=CF2=
1
3
AB，
∴AF2=BD2=CE2=
2
3
AB，
则易证△AD2F2≌△BE2D2，△AD2F2≌△CF2E2，△BE2D2≌△CF2E2．（或△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2）．
∴D2F2=E2D2=F2E2，
∴△D2E2F2是等边三角形；
②如图，过点D2作D2M∥BC，交AC于点M，
则△AD2M∽△ABC，
∴
AM
AC
=
AD2
AB
=
1
3
，
∴AM=
1
3
AC，
∴点M是的AF2中点．
∴
S△AD2M
S△ABC
=(
AD2
AB
)2=(
1
3
)2=
1
9
，即S△AD2M=
1
9
S，
∴S△AD2F2=2S△AD2M=
2
9
S，S△D2E2F2=S-3S△AD2F2=
1
3
S；

（2）①等边；
②
n
(n+1)2
S，
n2-n+1
(n+1)2
S；

（3）∵S=49，AD6=BE6=CF6=
1
7
AB，
∴S△D6E6F6=
62-6+1
(6+1)2
×49=31（m2）．
∴栽种花卉（即阴影部分）的面积为31m2．
点评：本题考查了等边三角形等性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的面积规律．做有规律的题目时，在由特殊到一般的过程中，要善于抓住不变量，找到解题途径．此题比较难，要求学生有比较好的分析问题、解决问题的能力．
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