题目内容
已知自然数n不能被5整除，求证：n4-1一定能被5整除．
【答案】分析：由自然数n不能被5整除，即可得n的个位数字不为0和5，然后分别从若n的个位数字为1，3，7，9与若n的个位数字为2，4，6，8去分析，即可得n4-1的个位数字是0或5，则可证得n4-1一定能被5整除．
解答：证明：∵自然数n不能被5整除，
∴n的个位数字不为0和5，（2分）
若n的个位数字为1，3，7，9，则n4的个位数字总是1，故n4-1的个位数字为0．
若n的个位数字为2，4，6，8，则n4的个位数字总是6，故n4-1的个位数字为5．
∴n4-1总能被5整除．（12分）
点评：此题考查了数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是掌握自然数n能被5整除，则n的个位数字为0或5；注意分类讨论思想的应用．
解答：证明：∵自然数n不能被5整除，
∴n的个位数字不为0和5，（2分）
若n的个位数字为1，3，7，9，则n4的个位数字总是1，故n4-1的个位数字为0．
若n的个位数字为2，4，6，8，则n4的个位数字总是6，故n4-1的个位数字为5．
∴n4-1总能被5整除．（12分）
点评：此题考查了数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是掌握自然数n能被5整除，则n的个位数字为0或5；注意分类讨论思想的应用．
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