Question

如图，直线y=2x+4与x轴交于A，与y轴交于B，点O₁在x轴上，⊙O₁过A，B点x轴交于另一点A，与y轴交于另一点D．

（1）求点O₁的坐标；
（2）BE平分△ABC的外角，并交⊙O₁于E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M为

CD

上一动点，EN⊥AM于N，若EN=3

5

，求CM-AM的值．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB，再利用相交弦定理列式求出OC的长度，然后求出⊙O₁的直径，再求出半径和OO₁，最后写出点O₁的坐标即可；
（2）连接EO₁，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，再根据角平分线的定义求出∠CBE=45°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠EO₁C=90°，从而得到EO₁⊥x轴，再写出点E的坐标即可；
（3）连接AE、ME、CE，过点E作EF⊥CM于F，根据等弧所对的圆周角相等可得∠AME=∠CME，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EN=EF，利用勾股定理列式求出AE，再利用勾股定理列式求出AN，然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AN，再根据对称性可得CM-AM=AN+CF，代入数据计算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵AC⊥BD，
∴OA•OC=OB²，
即2•OC=4²，
解得OC=8，
∴⊙O₁的直径为2+8=10，
半径=

1

2

×10=5，
∴OO₁=8-5=3，
∴点O₁的坐标为（3，0）；

（2）如图1，连接EO₁，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵BE平分△ABC的外角，
∴∠CBE=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠EO₁C=2∠CBE=2×45°=90°，
∴EO₁⊥x轴，
∴点E的坐标为（3，5）；

（3）如图2，连接AE、ME、CE，过点E作EF⊥CM于F，
∵EO₁⊥x轴，
∴

AE

=

CE

，
∴∠AME=∠CME，AE=CE，
∵EN⊥AM，
∴EN=EF，
∵⊙O₁的半径是5，
∴AE=5

2

，
在Rt△ANE中，AN=

AE2-EN2

=

(5 2 )2-(3 5 )2

=

5

，
在Rt△ANE和Rt△CFE中，

AE=CE EN=EF

，
∴Rt△ANE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=AN=

5

，
由角平分线的对称性，CM-AM=AN+CF=

5

+

5

=2

5

．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了相交弦定理，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，（2）求出∠EO₁C=90°是解题的关键，（3）难点在于作辅助线得到角平分线并构造出全等三角形．