Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．
求证：BG•AG=DF•DA．

Answer 1

分析：首先利用相似三角形的判定与性质得出CD²=AD×DF，CG²=BG×AG，进而得出△AGC≌△ADC（AAS），则CG=CD，得出答案即可．

解答：证明：连接BC，FC，CO，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴∠DCF=∠CAD，
∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，
∴CD²=AD×DF，
∵CG⊥AB，AB为直径，
∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，
∴∠GBC=∠ACG，
∴△BGC∽△CGA，
∴

CG

AG

=

BG

CG

，
∴CG²=BG×AG，
∵过E作⊙O的切线ED，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
在△AGC和△ADC中，

∠CGA=∠D ∠GAC=∠DAC AC=AC

，
∴△AGC≌△ADC（AAS），
∴CG=CD，
∴BG×AG=AD×DF．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△AGC≌△ADC是解题关键．