Question

几何模型：

条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；

（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；

（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．

 

Answer 1

解：（1）

（2）延长AO交⊙o于点D，连接CD交OB于P

则PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD

连接ＡＣ，∵ＡＤ为直径，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４

∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°

在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°?AD=，即PA+PC的最小值为

（3）解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接EF交OA，OB于R，Q，

则△PRQ的周长为：EF

∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,

∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°

在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周长最小值为10